整数の演算の間の関係

加法と減法の関係

加法と減法の間の関係は

x + y = z ならば z - y = x であり、

z - y = x ならば x + y = z である。

ということになります。これを図に書いて見てみることにします。

この方法は少し複雑なのですが、こうすると、加法と減法の間の関係が少しわかりやすくなります。

まず、直線を書いて、その直線上のある1個の点をとります。この点を 0 とします(図では、直線が交わっているところ)。直線上に別の1点をとって、この点を 1 とします。 0 から 1 の方(図では右)へ向かって、0 と 1 の間の長さの 2 倍の長さの点を 2 とします。 0 から 1 の方へ向かって、0 と 1 の間の長さの 3 倍の長さの点を 3 とします。 …この後も同じように、正の整数 n の点を決めます。 0 から 1 の方と逆の方(図では左)へ向かって、0 と 1 の間の長さの点を -1とします。 0 から 1 の方と逆の方へ向かって、0 と 1 の間の長さの 2 倍の長さの点を -2 とします。 0 から 1 の方と逆の方へ向かって、0 と 1 の間の長さの 3 倍の長さの点を -3 とします。 …この後も同じように、負の整数 -n の点を決めます。

次に加法を図で表してみます。例えば、まず 3 の点をとり、そこから右の方へ向かって、0 と 5 の間の長さをとったとき、そこの点は 3 + 5 の点になります。

この図は次の関係を表しています。

さらに次の計算をやってみます。上のボタンのどれかをクリックした後、「結果」ボタンをクリックしてみてください。また、図の直線の上の適当な位置をクリックした後、直線の下の適当な位置をクリックし、その後、「結果」ボタンをクリックしてみてください。

加法についての法則

加法については、次のことが成り立ちます。

加法の交換法則

x + y = y + x が成り立ちます。

加法の結合法則

(x + y) + z = x + (y + z) が成り立ちます。 (これは、この図では表すことができません)

乗法と除法の関係

乗法と除法の間の関係は

x × y = z ならば(そして y = 0 でなければ) z ÷ y = x であり、

z ÷ y = x ならば x × y = z である。

ということになります。 z ÷ 0 というのは定義されていません。今度はこれを図に書いて見てみることにします。

この方法はかなり複雑なのですが、しかしこうすると、乗法と除法の間の関係が少しわかりやすくなります。

まず、上でやったのと同じように、直線を書いて(図では横方向の直線)、整数をその直線上の点に対応させます。次に別の、直線を書いて(図では縦方向の直線)、こちらも整数をその直線上の点に対応させます。

乗法を図で表すには、複雑ですが次のようにします。例えば、まず横方向の直線上に 3 の点をとり、次に、縦方向の直線上に 5 の点をとります。横方向の直線上にとった点と縦方向の 1 の点を結ぶ直線を書きます。この直線と平行で、縦方向の直線上にとった点を通る直線を書きます。この直線と横方向の直線が交わる点が 3 × 5 の点になります。

この図は次の関係を表しています。

さらに次の計算をやってみます。上のボタンのどれかをクリックした後、「結果」ボタンをクリックしてみてください。また、図の横方向の直線上の適当な位置をクリックした後、縦方向の直線上の適当な位置をクリックし、その後、「結果」ボタンをクリックしてみてください。

加法と乗法についての法則

加法と乗法については、次のことが成り立ちます。

乗法の交換法則

x × y = y × x が成り立ちます。

乗法の結合法則

(x × y) × z = x × (y × z) が成り立ちます。 (これは、この図では表すことができません)

分配法則

x × (y + z) = (x × y) + (x × z)、 (x + y) × z = (x × z) + (y × z) が成り立ちます。