分数の計算

分数

上に書いた規則以外は、有理数は整数と同じような(加減乗除の) 性質を持つとしてうまくいきます。

分数の加法と減法

つまり n, a, b を整数とするとき

分数について、乗法の交換法則、乗法の結合法則も成り立つとします。 たとえば、 1/2 = (1/2)×1 = (1/2)×((1/6)×6) = (1/2)×(2×((1/6)×3)) = ((1/2)×2)×((1/6)×3) = 1×((1/6)×3) = (1/6)×3 = 3/6 のようになります。

このように、 分子(線の上にある数)と分母(線の下にある数)に同じ整数をかけたものも、 (われるなら)同じ整数でわったものも等しいということになります。 分子と分母が共通の約数を持っているときは、 両方を最大公約数でわると、 共通の約数を持たないようにすることができます。

これより (1/2) + (10/3) = (1/6)×3 + (1/6)×2×10 = (1/6)×(3 + 2×10) = 23/6 となります。

分数の加法、減法は以下のようにすればよいです。

1. 2つの分数の分母が等しくなければ等しくなるようにします。 これには、分母の最小公倍数 n を求めて、 両方の分数の分子と分母に同じ数をかけて 両方の分母が n になるようにすればよいです。
2. 分母が等しい分数のたし算・ひき算は、分母は同じで、 分子は分子どうしのたし算・ひき算になります。
3. 分子どうしのたし算・ひき算を行います。

分数の乗法と除法

この図は次の関係を表しています。

このように、 a, b, c, d を整数(b, d は 0 ではない)としたとき、 (a/b)×(c/d) = (a×c)/(b×d) となります。

分数の乗法は以下のようにすればよいです。

1. 分数のかけ算は、 分子は分子どうしのかけ算、分母は分母どうしのかけ算になります。
2. 分子どうしのかけ算、分母どうしのかけ算を行う前に、 分子と分母に共通の約数があるときは、その数でわっておきます。
3. 分子どうしのかけ算、分母どうしのかけ算を行います。
4. 分子と分母に共通の約数があるときは、その数でわっておきます。

整数はたし算、ひき算、かけ算はできますが、 わり算 x ÷ y は x が y の倍数のときしか定義できませんでした。 有理数では、y が 0 ではないときはわり算が定義できるようになります。 (有理数 x と 0 ではない有理数 y から x ÷ y という有理数が決まる) わり算は次のことが成り立つようなものとします。

• (1/n) × n = 1 なので 1/n = 1 ÷ n となります(n は整数)。
• (1/n) × n = 1 なので n = 1 ÷ (1/n) となります(n は整数)。
• (m/n) × n = ((1/n)×m) × n = ((1/n)×n) × m = 1 × m = m なので m/n = m ÷ n となります(m, n は整数)。
• (m/n) × (n/m) = ((1/n)×m) × ((1/m)×n) = ((1/n)×n) × ((1/m)×m) = 1 × 1 = 1 なので n/m = 1 ÷ (m/n) となります(m, n は整数)。
• (a×(b÷c))×c = a×((b÷c)×c) = a×b なので a×(b÷c) = (a×b)÷c となります(a, b, c は有理数)。
• a÷(m/n) = (a×1)÷(m/n) = a×(1÷(m/n)) = a×(n/m) となります(a は有理数、m, n は整数)。

以上のことから a, b, c, d を整数(b, c, d は 0 ではない)としたとき、 (a/b)÷(c/d) = (a×d)/(c×d) となります。

分数の除法は以下のようにすればよいです。

1. 分数のわり算は、まず、かけ算になおします。 そのためには、わる数の分子と分母を入れ替えたものをかける ようにすればよいです。あとは、分数のかけ算を行います。
2. 分数のかけ算は、 分子は分子どうしのかけ算、分母は分母どうしのかけ算になります。
3. 分子どうしのかけ算、分母どうしのかけ算を行う前に、 分子と分母に共通の約数があるときは、その数でわっておきます。
4. 分子どうしのかけ算、分母どうしのかけ算を行います。
5. 分子と分母に共通の約数があるときは、その数でわっておきます。