平方根の計算

平方根の計算

有理数は、分子と分母が共通の約数を持たない分数 m/n として 表すことができます。 もし (m/n)² = 2 とすると、(m²)/(n²) = 2 なので、m² = 2・n² となるので m² は 2 の倍数となります。 m² が 2 の倍数ならば m も 2 の倍数になります。 m = 2・k (k は整数)と表すことができます。 すると m² = 4・k² となって、 m² = 2・n² だったので 4・k² = 2・n² ということになって 2・k² = n² となるので、こんどは n² が 2 の倍数となり、n も 2 の倍数になります。 よって m と n が共通の約数を持つことになりました。 以上より有理数 x は x² = 2 となることはないという ことがわかります。

a² = 2 となる a を表すために、 「無限小数」を考えます。 「無限小数」は、自然数 n を決めると、 小数点以下 n 桁までの数字が決まるようなもののことです。 「無限小数」として表すことができるものを 実数 と言います。 a は 2 の平方根と言います。

「無限小数」x に対して、小数点以下 n 桁までをとった数 (n+1 桁以下を切り捨てた数、これは有理数です)をここでは x[n] と書くことにします。 ここでは、x[n] が全部 0 または正の数の場合を考えればよいので、 そうなっているとします。 このとき x[n] ≦ x ＜ x[n] + 10^-n という大小関係があるとします。 この大小関係については、有理数の大小関係と同じ性質を持つとします。

a² = 2 となる a (で、正の数であるもの)に対して、 a[n] を計算してみます。 a と有理数の間には、有理数と同じ大小関係があるとします。 とくに q² ≦ 2 ＜ r² ならば q ≦ a ＜ r であるとします(q, r は正の有理数)。 a[0] は小数点以上の数とします。 1² ≦ 2 ＜ 2² なので 1 ≦ a ＜ 2 となります。 よって a[0] = 1 となります。 次に a[1] を考えます。 1.4² ≦ 2 ＜ 1.5² なので 1.4 ≦ a ＜ 1.5 となります。 よって a[1] = 1.4 となります。 次に a[2] を考えます。 1.41² ≦ 2 ＜ 1.42² なので 1.41 ≦ a ＜ 1.42 となります。 よって a[2] = 1.41 となります。 次に a[3] を考えます。 1.414² ≦ 2 ＜ 1.415² なので 1.414 ≦ a ＜ 1.415 となります。 よって a[3] = 1.414 となります。 このように、任意の n に対して a[n] を求めることができます。

以下では、ある数の平方根を計算することができます。

1. まず、数字のボタンをクリックして(a)の領域に平方根を求める整数(2桁まで)を 入力します。 「Clear」ボタンをクリックすると、やり直すことができます。
2. 「Start」のチェックボックスをクリックして、チェックした状態にします。 (c)の領域は a = (b × 10)² + c という状態になります。
3. 数字のボタンをクリックすると、(d)の領域に数字が表示されます。 このとき(c)の領域は a = (b × 10 + d)² + c という状態になります。 (最初の(c)の領域の値を c' とすると、c = c' + 20bd + d² となります)
4. 数字のボタンをいろいろクリックしてみて、 (c)の領域が負の数にならないような最大の数字を選んで、 「OK」ボタンをクリックします。 (a)の領域は a × 100 になります。 (b)の領域は b × 10 + d になります。 (c)の領域は a = b² + c が成り立つような値になります。
5. 以上のことを繰り返します。 たとえば、最初に 2 を入力して5回繰り返すと、 (a)の領域は 20000000000 、 (b)の領域は 14142 、 (c)の領域は 383600 になります。 これは 20000000000 = 141420² + 383600 であること、つまり 2 = 1.4142² + 0.00003836 であることを表しています。 16桁ぐらいまで計算することができます。