集合 G に演算・ (x・y を xy と書きます) が定義されていて、 次の3条件が成り立っているとき、G は群(group)であるといいます。
群 G のすべての元 x、y に対して xy = yx (交換法則)(commutative law) が成り立つとき、G は可換群(commutative group)または アーベル群(abelian group)といいます。
群 G の部分集合 H が、G の演算によって群になるとき、 H は G の部分群であるといいます。
G を群、H を G の部分群とします。 G の元 x に対して xH を xy (y は H の元)という元の全体の集合とすると、 xH は y-1x が H に含まれるという関係による x の同値類となります。 xH を 左剰余類といいます。 Hx を yx (y は H の元)という元の全体の集合とすると、 Hx は xy-1 が H に含まれるという関係による x の同値類となります。 Hx を 右剰余類といいます。
G を群、H を G の部分群とします。 任意の G の元 x に対して、xHx-1 = H であるとき (xHx-1 は xyx-1 (y は H の元)という元の全体の集合)、 H は G の正規部分群であるといいます。
G を群、H を G の正規部分群とします。 H による左剰余類と右剰余類には区別がないので単に剰余類といいます。 H による剰余類の全体を G/H と書きます。 G の元 x、y に対して (xH)(yH) を xhyk (h、k は H の元)という元の全体の集合とすると、 (xH)(yH) = (xy)H となります。 この演算によって G/H は群となります。 G/H を H による G の剰余群または商群といいます。
群 G から群 H への写像 f: G -> H が、 G の任意の元 x、y に対し f(xy) = f(x)f(y) が成り立つとき、 f を(群の)準同型写像(homomorphism)といいます。 H の単位元の逆像を f の核(kernel)といい、Ker f と書きます。 G の f による像を f の像(image)といい、Im f と書きます。