X3+aX2+bX+c=(X-z0)(X-z1)(X-z2) とします。 Z={z0,z1,z2}の置換の全体を S={s0,s1,s2,s4,s4,s5} とします。 w3は w32+w3+1=0を満たすとします。 p=z0. (((s0+(s0w3).s4+ (s0w32).s4.s4)3+ ((s0+(s0w3).s4+ (s0w32).s4.s4)3(-1)). s1)2) =((z0+z1w3+z2w32) 3- (z0+z2w3+z1w32) 3)2 とおくと、pは任意のSの元sに対して、p.s=pとなるので、 pは a、b、c の多項式で表すことができます。 実際、p= 108a3c-486abc+729c2+108b3-27a2b2 となります。 r2(x)をr2(x)2=xを満たすものの一つとすると (もう一つは-r2(x)となります)、 (z0+z1w3+z2w32) 3- (z0+z2w3+z1w32) 3 =r2(p)または-r2(p) となります。 (z0+z1w3+z2w32) 3+ (z0+z2w3+z1w32) 3 =-27c+9ab-2a3 なので、この二つの式から (z0+z1w3+z2w32) 3 を求めることができます。 q=(z0+z1w3+z2w32) 3とします。 r3(x)を r3(x)3=xを満たすものの一つとすると (他の二つはw3r3(x)、 w32r3(x)となります)、 z0+z1w3+z2w32 =r3(q)またはw3r3(q)または w32r3(q)となります。 z0+z1w3+z2w32 =y1とおくと (z0+z1w3+z2w32) (z0+z2w3+z1w32) =-3b+a2 なので z0+z2w3+z1w32 =(-3b+a2)/y1 となります。 また z0+z1+z2=-a なので、この三つの式からz0を求めることができます。 (参考文献)