3次方程式のべき根による解法

K を w₃² + w₃ + 1 = 0 を満たす元 w₃を含む体とします。 z₀、z₁、z₂ を変数とし、 K の元を係数とする多項式の集合 R = K[z₀,z₁,z₂] 上の多項式 (X - z₀)(X - z₁)(X - z₂) を考えます。

a	=	- ( z0 + z1 + z2 ),
b	=	z0z1 + z1z2 + z2z0,
c	=	- z0z1z2

とおくと、

Z = { z₀, z₁, z₂ } と置きます。 Z から Z への全単射の全体を S とすると、 S は次の表で定義される6つの元からなる集合 S = { s₀, s₁, s₂, s₃, s₄, s₅ } となります(s₀ は恒等写像です)。 この表は、 Z の元 z_i の S の元 s_j による像 z_i . s_j を表しています。

	s0	s1	s2	s3	s4	s5
z0	z0	z0	z1	z2	z1	z2
z1	z1	z2	z0	z0	z2	z1
z2	z2	z1	z2	z1	z0	z0

S の元 s_i と s_j の合成 s_i . s_j を、任意の Z の元 z に対して、 ( z . s_i ) . s_j = z . ( s_i . s_j ) となるものとすると、 s_i . s_j は次の表のようになります。

	s0	s1	s2	s3	s4	s5
s0	s0	s1	s2	s3	s4	s5
s1	s1	s0	s4	s5	s2	s3
s2	s2	s3	s0	s1	s5	s4
s3	s3	s2	s5	s4	s0	s1
s4	s4	s5	s1	s0	s3	s2
s5	s5	s4	s3	s2	s1	s0

S の元 s に対して、s² = s . s 、s³ = s . s . s のように書くとすると、

s	s0	s1	s2	s3	s4	s5
s2	s0	s0	s0	s4	s3	s0
s3	s0	s1	s2	s0	s0	s5

となります。 この表から s、s² は s₀ ではなく、 s³ = s₀ となるものは、 s₃ と s₄ であるということがわかります。

s を S の元とします。 R の元 r は、r = c₀₀₀ z₀⁰z₁⁰z₂⁰ + ... + c_ijk z₀ⁱz₁^jz₂^k + ... という形の有限個の和なので、 r . s = c₀₀₀ (z₀.s)⁰(z₁.s)⁰(z₂.s)⁰ + ... + c_ijk (z₀.s)ⁱ(z₁.s)^j(z₂.s)^k + ... と定義することによって、s は R から R への写像と考えることができます。 R から R への写像 u、v に対して、u + v、u - v、uv、uⁿ を

r.(u + v)	=	(r.u) + (r.v),
r.(u - v)	=	(r.u) - (r.v),
r.(uv)	=	(r.u)(r.v),
r.(un)	=	(r.u)n

と定義します。

s₄³ = s₀ なので

X³ + aX² + bX + c = (X - z₀)(X - z₁)(X - z₂) の X に z₀ を代入して、 z₀³ + az₀² + bz₀ + c = 0 より

よって任意の R の元 x に対して x . g₁² は a、b、c の多項式で表すことができます。 とくに z₀ . g₁² = 108a³c - 486abc + 729c² + 108b³ - 27a²b² となります。

R の元 x に対して y² = x を満たす R の元 y が存在するとき、 そのようなものの1つを x^1/2 と書くことにします。 すると、(-x^1/2)² = (x^1/2)² = x となるので、-x^1/2 も上の条件を満たします。 R の元 z が z² = x を満たすとすると、 z² = (x^1/2)² となるので、 (z - x^1/2)(z + x^1/2) = 0 となって、 z = x^1/2 または z = -x^1/2 となります。 よって、 z₀ . g₁ = (108a³c - 486abc + 729c² + 108b³ - 27a²b²)^1/2 または - (108a³c - 486abc + 729c² + 108b³ - 27a²b²)^1/2 となります。

p = (108a³c - 486abc + 729c² + 108b³ - 27a²b²)^1/2 または - (108a³c - 486abc + 729c² + 108b³ - 27a²b²)^1/2 とおきます。

上に述べた式

z0 . f13 + z0 . f13 . s1	=	- 27c + 9ab - 2a3
z0 . f13 - z0 . f13 . s1	=	p

に s₁ をほどこすと

z0 . f13 . s1 + z0 . f13	=	- 27c + 9ab - 2a3
z0 . f13 . s1 - z0 . f13	=	p . s1

となるので、p . s₁ = - p であり、 p = (108a³c - 486abc + 729c² + 108b³ - 27a²b²)^1/2 としたときの z₀ . f₁³ は p = - (108a³c - 486abc + 729c² + 108b³ - 27a²b²)^1/2 としたときの z₀ . f₁³ . s₁ であり、 p = (108a³c - 486abc + 729c² + 108b³ - 27a²b²)^1/2 としたときの z₀ . f₁³ . s₁ は p = - (108a³c - 486abc + 729c² + 108b³ - 27a²b²)^1/2 としたときの z₀ . f₁³ であり、 p = (108a³c - 486abc + 729c² + 108b³ - 27a²b²)^1/2 としても p = - (108a³c - 486abc + 729c² + 108b³ - 27a²b²)^1/2 としても、 z₀ . f₁³ か z₀ . f₁³ . s₁ のどちらかに z₀ . f₁³ が得られる ということがわかります。

R の元 x に対して y³ = x を満たす R の元 y が存在するとき、 そのようなものの1つを x^1/3 と書くことにします。 すると、(x^1/3w₃)³ = (x^1/3)³ = x 、(x^1/3w₃²)³ = (x^1/3)³ = x となるので、x^1/3w₃、 x^1/3w₃² も上の条件を満たします。 R の元 z が z³ = x を満たすとすると、 z³ = (x^1/3)³ となるので、 (z - x^1/3)(z - x^1/3w₃) (z - x^1/3w₃²) = 0 となって、 z = x^1/3 または z = x^1/3w₃ または z = x^1/3w₃² となります。 よって、 z₀ . f₁ = ((- 27c + 9ab - 2a³ + p) / 2)^1/3 または ((- 27c + 9ab - 2a³ + p) / 2)^1/3w₃ または ((- 27c + 9ab - 2a³ + p) / 2)^1/3w₃² となります。

q = ((- 27c + 9ab - 2a³ + p) / 2)^1/3 または ((- 27c + 9ab - 2a³ + p) / 2)^1/3w₃ または ((- 27c + 9ab - 2a³ + p) / 2)^1/3w₃² とおきます。

上に述べた式

z0 + ( z0 . s4 ) + ( z0. s42 )	=	- a,
z0 + ( z0 . s4 ) w3 + ( z0. s42 ) w32	=	q
z0 + ( z0. s4 ) w32 + ( z0 . s42 ) w3	=	( - 3b + a2 ) / q

に s₄ をほどこすと

( z0 . s4 ) + ( z0 . s42 ) + z0	=	- a,
( z0 . s4 ) + ( z0 . s42 ) w3 + z0w32	=	q
( z0. s4 ) + ( z0. s42 ) w32 + z0w3	=	( - 3b + a2 ) / q

となり、s₄² をほどこすと

( z0 . s42 ) + z0 + ( z0 . s4 )	=	- a,
( z0 . s42 ) + z0w3 + ( z0 . s4 )w32	=	q
( z0. s42 ) + z0w32 + ( z0 . s4 )w3	=	( - 3b + a2 ) / q

となるので、q . s₄ = qw₃ 、 q . s₄² = qw₃² であり、 q = ((- 27c + 9ab - 2a³ + p) / 2)^1/3 としても ((- 27c + 9ab - 2a³ + p) / 2)^1/3w₃ としても ((- 27c + 9ab - 2a³ + p) / 2)^1/3w₃² としても z₀ または z₀ . s₄ または z₀ . s₄² のどれかに z₀ が得られる ということがわかります。

T₀ = { s₀, s₃, s₄ }, T₁ = { s₁, s₂, s₅ } とおくと、 T_i の元 s_i と T_j の元 s_j に対して、 s_i.s_j が含まれるものを T_i.T_j と定義することができます。 L = K[z₀.f₁³, z₀.f₁³.s₁] を z₀.f₁³, z₀.f₁³.s₁ で生成される K 上の多項式の集合とします。

f13	=	f13.s4	=	f13.s3,
f13.s1	=	f13.s5	=	f13.s2

であり、

s0.s1 = s1.s0,	s0.s2 = s2.s0,	s0.s5 = s5.s0,
s3.s1 = s1.s4,	s3.s2 = s2.s4,	s3.s5 = s5.s4,
s4.s1 = s1.s3,	s4.s2 = s2.s3,	s4.s5 = s5.s3

であるので、T₁ の元 s の対して f₁³.s = f₁³.s₁, f₁³.s₁.s = f₁³ となります。 よって T₀, T₁ は L から L への写像と 考えることができます (T₀ は恒等写像となります)。 z₀.f₁³, z₀.f₁³.s₁ は (X - z₀.f₁³) (X - z₀.f₁³.s₁) = X² - (- 27c + 9ab - 2a³)X + (- 3b + a²)³ = 0 の根であり、 T = { T₀, T₁ } はこの方程式の根の置換の全体に なります。 X³ + aX² + bX + c = 0 の根の置換によって、 T の元 T_i と T_i の元 s_j が決まります。