乗法と除法の計算

10進数のかけ算

有理数 a に対して、 a × a のことを a² と書きます。

a の右上に小さい 2 を書きます。ここでは、書きにくいので a^2 と書くこともあります。これはここだけの書き方です。同様に a × a × … (n 個の積)のことをaⁿ と書きます。

10進数とは、たとえば 234 のように書いた数で、これは 2×100 + 3×10 + 4 のことです。

10進数とは、 a_n×10ⁿ + a_n-1×10^n-1 + … + a₀ (a_i = 0, 1, 2, … , 9) のように表した自然数を a_i を並べて (a_na_n-1…a₁a₀のように) 書いたものです。

かけ算を考えてみると、たとえば 23×45 = (2×10+3)×(4×10+5) = 2×4×100 + 2×5×10 + 3×4×10 + 3×5 となります。このように、桁ごとにかけ算をやって、それを(桁をずらして)たせばよいです。

かけ算のやり方

ここで、これをやってみることができます。

使い方

上の方に二つの数が表示されています。この二つの数のかけ算をやってみることができます。下の方に長方形の枠が並んでいます。ここに数字を表示させることができます。数字を表示させるには、枠の中をクリックしてください。その位置によって次のような数が表示されます。

7	8	9
4	5	6
1	2	3
0	0

このようにして、ふつうのかけ算の計算のように数字を表示させていくと、かけ算ができます。最初の二つの数を変えるには「数を入力してください」というところのテキストボックスに 2けた以下の数を入れてsetボタンを押してください。

小数のかけ算

(10進数の)小数とは、たとえば 23.4 のように書いた数で、これは 2×10 + 3 + 4×(1/10) のことです。

10進数の小数とは、m + a₁×(1/10) + a₂×(1/10²) + … + a_n×(1/10ⁿ) (m は整数、a_i = 0, 1, 2, … , 9) のように表した有理数を m の後に小数点、その後に a₁a₂…a_n を並べて書いたものです。

たとえば、小数 2.3 は 10 をかけると整数 23 になります。このように小数は 10 を何回かかけると整数になります。

これは表示の上からは、小数点がなくなっただけです。

かけ算を考えてみると、たとえば 2.3×4.5 = 2.3×10×(1/10)×4.5×10×(1/10) = 23×45×(1/100) となるので、まず整数と整数のかけ算を行って、その後小数点を入れればよいということになります。

10進数のわり算

整数の範囲ではわり算ができなかった場合でも、小数の範囲ではできる場合があります。

例: 5÷4 を考えます。 5 = 4×1 + 1 なので、整数の範囲ではわり算はできません。 5÷4 を小数で表すには、まず、両辺に10をかけたものを考えます。 50 = 4×10 + 10 = 4×10 + 4×2 + 2 となって、まだわり算はできないので、さらに両辺に10をかけたものを考えます。 500 = 4×100 + 4×20 + 20 = 4×100 + 4×20 + 4×5 となるので、500 = 4×125 となって、5 = 4×1.25 となります。 5÷4 = 1.25 となります。

例: 5÷3 を考えます。 5 = 3×1 + 2 なので、整数の範囲ではわり算はできません。 5÷3 を小数で表すには、まず、両辺に10をかけたものを考えます。 50 = 3×10 + 20 = 3×10 + 3×6 + 2 となって、まだわり算はできないので、さらに両辺に10をかけたものを考えます。 500 = 3×100 + 3×60 + 20 = 3×100 + 3×60 + 3×6 + 2 となるので、これは何回やっても終わらないということがわかります。これは小数では書けないのですが、むりやり小数で書いてみると 5÷3 = 1.66666… となります。

かけ算とわり算の関係

以下では、かけ算とわり算をやってみることができます。

かけ算のやり方

(1) と (2) のところに数を入れてください。
[>>] ボタンを押してください。
[+] ボタンを押してください。 (1) のところが 1 減り (3) のところが (2) をたしたものになります。
(1) のところが 0 になるまで [+] ボタンを押してください。
[<] ボタンを押してください。 (1) と (3) のところが 1 桁左にずれます。
また [+] ボタンを押してください。
これを [<] ボタンを押しても (1) のところが 0 になるまで繰り返してください。 (3) のところの数がかけ算の結果の数になります。
(4) のところを見ると、どういう計算だったかがわかります。 (4) のところの意味は次のようになります。 (1) と (3) のところが n 桁右にずれているとします。すると、(1)×10ⁿ×(2)＋(3)×10ⁿ の値は、[+]、[-]、[<]、[>]ボタンを押しても変わりません。この様子が(4)のところに表示されます。左辺は最初の値で、右辺は途中の値です。

わり算のやり方

(3) と (2) のところに数を入れてください。
[>>] ボタンを押してください。
[-] ボタンを押してください。 (1) のところが 1 増え (3) のところが (2) をひいたものになります。
(3) から (2) がひけなくなるまで [-] ボタンを押してください。
[<] ボタンを押してください。 (1) と (3) のところが 1 桁左にずれます。
また [-] ボタンを押してください。
これを [<] ボタンを押しても (3) から (2) がひけなくなるまで繰り返してください。 (1) のところの数がわり算の結果の数になります。 (3) のところの数があまりになります。
(4) のところを見ると、どういう計算だったかがわかります。 (4) のところの意味は次のようになります。 (1) と (3) のところが n 桁右にずれているとします。すると、(1)×10ⁿ×(2)＋(3)×10ⁿ の値は、[+]、[-]、[<]、[>]ボタンを押しても変わりません。この様子が(4)のところに表示されます。左辺は最初の値で、右辺は途中の値です。