集合 R に2つの演算、 加法 a + b、 乗法 ab が定義されていて、 次の3条件が成り立っているとき、R は環(ring)であるといいます。
a + (- b) を a - b と書きます。
環 R が乗法の単位元(単に R の単位元といいます) 1 をもつとき、 R を単位元をもつ環といいます。 環 R が単位元をもつ環のとき、単位元はただ 1 つです。 環 R において、1 = 0 なら、R = { 0 } となります。 このとき R を零環(zero ring)といいます。 単位元をもつ環 R の 1 を含む部分集合で、R の加法によって群になり、 乗法に関して閉じているものを R の部分環(subring)といいます。 単位元をもつ環 R の元 a が乗法の逆元 a-1 をもつとき、 a を単元(unit)といいます。 環 R が乗法について可換であるとき、R を可換環(commutative ring)といいます。 可換環 R の元 a について、ab = 0 となる R の 0 でない元 b が存在するとき、 a は零因子(zero divisor)であるといいます。
単位元をもつ零環でない可換環で、0 以外の零因子をもたないものを、 整域(integral domain)といいます。 単位元をもつ零環でない可換環で、0 以外の元がすべて単元であるものを、 体(field)といいます。
R を単位元をもつ可換環とします。 R の元を係数とする変数(variable)(不定元(indeterminate)ともいう) X の多項式全体の集合は、 通常の加法と乗法に関して単位元をもつ可換環になります。 この環を R 上の(1 変数 X の)多項式環(polynomial ring)といい、 R[X] と書きます。
単位元をもつ可換環 R の空でない部分集合 I が、次の2つの条件を満たすとき、 I は R のイデアル(ideal)であるといいます。
I を単位元をもつ可換環 R のイデアル、 R/I を R の I による加法に関する 剰余群 (x - y が I に属するという関係による同値類全体の集合。 x + I = { x + a : a は I の元 } は x を含む同値類であり、 (x + I) + (y + I) = (x + y) + I により R/I は群となる) とします。 (x + I)(y + I) = (xy) + I により R/I は環となります。 環 R/I を R の I による剰余環(quotient ring)または商環といいます。
単位元をもつ可換環 R のイデアル I、J に対して、 I + J = { a + b : a は I の元、b は J の元 }、 IJ = { 有限個の和 a1 + b1 + a2 + b2 + ... + an + bn : 各 ai は I の元、bi は J の元、n は自然数 } と定義すると、I + J、IJ は R のイデアルとなります。 これらをイデアルの和、積といいます。
単位元(1R)をもつ環 R から単位元(1S)をもつ環 S への 写像 f: R -> S が、 R の任意の元 a、b に対し f(a + b) = f(a) + f(b)、f(ab) = f(a)f(b)、 f(1R) = 1S が成り立つとき、 f を(単位元をもつ環の)準同型写像(homomorphism)といいます。 S の零元の逆像を f の核(kernel)といい、Ker f と書きます。 R の f による像を f の像(image)といい、Im f と書きます。
単位元をもつ可換環 R の R と等しくないイデアル I が、 任意の R の元 a、b に対して、ab が I に含まれるならば a が I に含まれるかまたは b が I に含まれるとき、 I は R の素イデアル(prime ideal)であるといいます。
単位元をもつ可換環 R の R と等しくないイデアル I が、 J を I を含む R のイデアルとすると、 J = R または J = R となるとき、 I は R の極大イデアル(maximal ideal)であるといいます。
R を単位元をもつ可換環とします。 R の元 a に対して、 (a) = Ra = { xa : x は R の元 } と定義すると、 (a) は R のイデアルとなります。 (a) を a で生成されるイデアルといいます。 R の元 a1、a2、...、an に対して (a1, a2, ... , an) = Ra1 + Ra2 + ... + Ran = { x1a1 + x2a2 + ... + xnan : 各 xn は R の元 } と定義すると、 (a1, a2, ... , an) は R のイデアルとなります。 (a1, a2, ... , an) を a1, a2, ... , an で生成されるイデアルといいます。 1個の元で生成されるイデアルを単項イデアル(principal ideal)といいます。 すべてのイデアルが単項イデアルである単位元をもつ可換環 R を 単項イデアル環(principal ideal ring)といいます。 R が整域のとき、単項イデアル整域(principal ideal domain)といいます。 有限個の元で生成されるイデアルを有限生成イデアルといいます。 単位元をもつ可換環 R で、すべてのイデアルが有限生成であるものを、 ネーター環(Noetherian ring)といいます。 R が整域のとき、ネーター整域(Noetherian domain)といいます。
R を整域とします。 R - { 0 } から自然数全体の集合(0は含まない)への写像 N (ノルム)が存在して、 R の元 x、y (y は 0 ではない)に対して x = qy + r、r = 0 または N(r) < N(y) となる R の元 q、r が存在するとき、R はユークリッド整域 (Euclidean domain)といいます。
整域 R の元 a、b が、a = bc となるような R の元 c が存在するとき、 a は b の倍元(multiple)である、 a は b で割り切れる、 b は a の約元(divisor)(因子) といい、b | a と書きます。 また、整域 R の元 a、b が、b = ua となるような R の単元 u が存在するとき、 a と b は同伴(associate)であるといいます。
整域 R の元 a1、a2、... 、ar に対して、 すべての ai の約元になる元を a1、a2、... 、ar の公約元(common divisor)といいます。 公約元で、すべての公約元の倍元になる元が存在するとき、 最大公約元(greatest common divisor)といい、 GCD(a1,a2,....ar)と書きます。 GCD(a,b) = 1 のとき、a と b は互いに素(prime)であるといいます。 また、すべての ai の倍元になる元を a1、a2、... 、ar の公倍元(common multiple)といいます。 公倍元で、すべての公倍元の約元になる元が存在するとき、 最小公倍元(least common multiple)といい、 LCM(a1,a2,....ar)と書きます。
整域 R の 0 でも単元でもない元 a が、 分解 a = bc があれば、b または c が単元になるとき、 a は既約元(irreducible element)であるといいます。
整域 R の 0 でも単元でもない元 a が、 a | bc ならば、a | b または a | c であるとき、 a は素元(prime element)であるといいます。
整域 R が次の性質を満たすとき、 R は一意分解整域(unique factorization domain)であるといいます。