群の定義

集合 G に演算 + が定義されていて、 次の3条件が成り立っているとき、G は 群 であるといいます。

  1. (x + y) + z = x + (y + z) (結合法則)(associative law)
  2. ある G の元 0 が存在して、すべての G の元 x に対し 0 + x = x + 0 = x が成り立つ。0 を G の単位元という。
  3. すべての G の元 x に対して、G の元 y が存在して y + x = x + y = 0 が成り立つ。 y を x の逆元といい、- x と書く。
これは、次の条件と同値となります。
  1. (x + y) + z = x + (y + z)
  2. ある G の元 0 が存在して、すべての G の元 x に対し 0 + x = x が成り立つ。
  3. すべての G の元 x に対して、G の元 y が存在して y + x = 0 が成り立つ。

以下では、次の3個の等式

0 + x = x
- x + x = 0
( x + y ) + z = x + ( y + z )
を使って、以下のように式を変形していくことができます。
- x + ( x + y ) → y
x + 0 → x
- - x → x
x + - x → 0
- 0 → 0
x + ( - x + y ) → y
- ( x + y ) → - y + - x
リストから式を選んで、[<] (右から左に変形)ボタンを押すか、 [>] (左から右に変形)ボタンを押してください。 コマンド領域に数字が表示されます。 (または、直接コマンド領域に数字を入力してください。) その後、[run] ボタンを押すと、結果が表示されます。 式の中の [] は、次に変形規則を適用する位置を表します。 続けて変形するときは、コマンド領域に数字を追加して、 [run] ボタンを押してください。 [def] ボタンで、コマンド領域内の値をリストボックスに登録することができます。

(説明) (参考文献)