x³ + y³ = z³ をみたす 0 ではない整数 x、y、z は存在しない

x³ + y³ = z³ (x,y,z は 0 ではない整数)とします。 x,y,z より小さい x',y',z' に対して (x')³ + (y')³ = (z')³ を満たすことを示します。

x, yが互いに素ではないとき

x, y が素数 p で割り切れるとすると、z も p で割り切れ、 (x/p)³ + (y/p)³ = (z/p)³ となるので、 x, y, z よりそれぞれが小さい x/p, y/p, z/p に対しても主張 ((x')³ + (y')³ = (z')³ を満たす) が成り立っていることになります。

x, yが互いに素のとき

このとき x, z も互いに素となり、y, z も互いに素となります。 x, y, z のうち、1個は偶数、2個は奇数となるので、 x, y, z を適当に入れ替えて、x, y は奇数となるようにする ことができます。

Z を整数全体の集合、C を複素数全体の集合とします。 w を X² + X + 1 = 0 の根の一つである、C の元とします。 (p を p² = -3 となる元の一つとすると、 w = (-1 + p)/2 または w = (-1 - p)/2 となります。 このとき w³ = 1 となります。) R = Z[w] = { a + bw : a, b は Z の元 } とおくと、 w² + w + 1 = 0 なので、R は 環となります (加法、減法、乗法に関して閉じています)。 R の部分集合 S, T に対して、 S + T = { s + t : s は S の元、t は T の元 }、 R の部分集合 S と R の元 u に対して、 Su = { su : s は S の元 } とします。 R の部分集合 I が、加法、減法に関して閉じていて、 任意の R の元 u に対して Iu ⊆ I をみたすとき、 R のイデアルといいます。 R のイデアル I, J に対して、 IJ = { s₁t₁ + s₂t₂ + ... + s_nt_n : s_i は I の元、t_j は J の元 } とします。 IJ は R のイデアルになります。 R のイデアル I に対して、 Iⁿ = II...I (n個)とします。 R のイデアル I, J に対して、 I + J は R のイデアルになります。 u を R の元とすると、Ru は R のイデアルになります。 u, v を R の元とすると、R(uv) = (Ru)v = (Ru)(Rv) となります。

I を R のイデアルとします。 R の元 r に対して、r + I = { r + x : x は I の元 } として、 (r + I) + (s + I) = (r + s) + I、 (r + I) - (s + I) = (r - s) + I、 (r + I)(s + I) = (rs) + I と定義します。 r + I の全体の集合 R/I は環になります (上に定義した加法、減法、乗法に関して閉じています)。

x³ + y³ = z³ なので、 (x + y)(x + yw)(x + yw²) = z³ となります。 したがって、 (R(x + y))(R(x + yw))(R(x + yw²)) = Rz³ となります。

R の元 x = a + bw (a、b は Z の元)に対して N(a + bw) = a² - ab + b² と定義すると、N(x) は正の整数(x = 0 のときは 0)で、 N(xy) = N(x)N(y) が成り立ちます。 (証明) N(x) = 1 となる x は、 x = 1, -1, w, -w, w², -w² のどれかになります。 (証明) R の元 x、y (y は 0 ではない)に対して x = yq + r、 N(r) < N(y) となる R の元 q、r が存在します。 (証明) I を R のイデアルとするとき、x を N(x) が最小となる 0 ではない I の元とすると、 I = Rx となります。 (証明) このように、すべてのイデアルが Rx という形になるものを 単項イデアル環( 整域のとき 単項イデアル整域(PID))といいます。

N(1 - w) = 3 なので、I = Rx とすると、N(x) = 1 または N(x) = 3 となります。 したがって、I = R または I = R(1 - w) となります。 (証明)

I = R のとき

R が PID のとき、I、J、K が R のイデアルで、IJ = Kⁿ、I + J = R ならば、I = Lⁿ、J = Mⁿ となるような R のイデアル L、M が存在します。 (証明)

よって、 (R(x + y))(R(x + yw))(R(x + yw²)) = Rz³ なので R(x + y) = K³, R(x + yw) = L³, R(x + yw²) = M³ となる R のイデアル K、L、M が存在します。 (証明) R は PID なので、 R(x + yw) = R(a + bw)³ となる整数 a、b が存在します。 x + yw = e(a + bw)³、 e = 1, -1, w, -w, w², -w² となります。

J = R(1 - w) または J = R3 とすると、

よって、 R(a + b) = S³, R(2a - b) = T³, R(a - 2b) = U³ となる R のイデアル S, T, U が存在します。 (証明)

e(a + bw)³ (e = 1, -1, w, -w, w², -w², a, b は Z の元、a, b は互いに素)が Z の元であるとします。 e = w, -w とすると、 a³ - 3a²b + b³ = 0 となるので、a + b は 3 で割りきれます。 b = 3c - a とおくと 3a³ + 27c³ - 27ac² = 0 となって、a も 3 で割りきれることになるので、 e = w, -w の場合はありえないということになります。 e = w², -w² の場合も同様にありません。 e = 1, -1 のときは、ab(a - b) = 0 となって、 a + bw または (a + bw)w または (a + bw)w² は Z の元ということに なります。 a, b は互いに素ではないときは、 a/c, b/c が互いに素になるような Z の元 c をとると、 (a + bw)/c または (a + bw)w/c または (a + bw)w²/c は Z の元 なので、 a + bw または (a + bw)w または (a + bw)w² は Z の元ということに なります。 (証明)

よって、 a + b = s³, 2a - b = -t³, a - 2b = -u³ となる Z の元 s, t, u が存在します。 s³ + t³ = u³ となるので、 s, t, u に対して主張が成り立っているということになります。

N(x + y)N(x + yw)N(x + yw²) = N(z)³ なので、 N(x + yw) = N(x + yw²) = 1 とすると、x = 1, -1, y = 1, -1 となり、 N(z)³ = N(x + y) = 0, 4 となってしまうので、 |x + y| < |z|³ となり、 |s³t³u³| = |x + y| < |z|³ となります。また、同様に、|s| も |t| も |u| も 1 ではないので、 m を |x| と |y| の大きいほうとすると、 |s³t³u³| = |x + y| ≦ 2m より |s³| < m、|t³| < m、|u³| < m となり、|s|, |t|, |u| は、|x|, |y|, |z| の最大のものより小さくなります。 (証明)

I = R(1 - w) のとき

R(x + y) ⊆ R(1 - w)、R(x + yw) ⊆ R(1 - w)、 R(x + yw²) ⊆ R(1 - w) なので R(x + y) = (R(1 - w))D、R(x + yw) = (R(1 - w))E、 R(x + yw²) = (R(1 - w))F となるような R のイデアル D、E、F が存在します。 (証明) D + E = D + F = E + F = R、 (証明) (R(1 - w))³DEF = (Rz)³ となるので、 R が PID であることから、 D = K³, E = L³, F = M³ となる R のイデアル K, L, M が存在します。 (証明) R は PID なので、 R(x + yw) = (R(1 - w))(R(a + bw))³ となる整数 a, b が存在します。 (x + yw) = e(1 - w)(a + bw)³, e = 1, -1, w, -w, w², -w² となります。

よって、 a = s³, b = -t³, a - b = u³ となる Z の元 s, t, u が存在します。 s³ + t³ = u³ となるので、 s, t, u に対して主張が成り立っているということになります。

前の場合と同様、|s|, |t|, |u| は、|x|, |y|, |z| の最大のものより小さくなります。 (証明)