環

集合 R に2つの演算、 加法 a + b、 乗法 ab が定義されていて、 次の3条件が成り立っているとき、R は 環 であるといいます。

1. R は加法に関して 可換群 である。 すなわち
   1. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (結合法則)(associative law)
   2. a + b = b + a (交換法則)(commutative law)
   3. ある R の元 0 が存在して、すべての R の元 a に対し 0 + a = a + 0 = a が成り立つ。0 を R の零元(zero element)という。
   4. すべての R の元 a に対して、加法の逆元が存在する。すなわち b + a = a + b = 0 をみたす R の元 b が存在する。 この b を -a と書く。
2. R は乗法に関して結合法則が成り立つ。すなわち (ab)c = a(bc)
3. 分配法則(distributive law)が成り立つ。すなわち a(b + c) = ab + ac、 (a + b)c = ac + bc